Question

如下四個函數：
①f（x）=sinx②f（x）=x²+2x-1③f（x）=-x³+4x+2④
性質A：存在不相等的實數x₁、x₂，使得
性質B：對任意0＜x₂＜x₃＜1，總有f（x₁）＜f（x₂）
以上四個函數中同時滿足性質A和性質B的函數個數為

1. A.
   1個
2. B.
   2個
3. C.
   3個
4. D.
   4個

Answer 1

B
分析：由于性質B，即單調性的檢驗更易于進行，所以先檢驗它們的單調性，其中函數f（x）=-x³+4x+2的單調性需用導數法判斷；對于性質A，可結合奇函數的性質f（x）+f（-x）=0舉出例證，其中函數f（x）=x²+2x-1需用反證法思想推出矛盾．則問題解決．
解答：（1）由性質B：“對任意0＜x₁＜x₂＜1，總有f（x₁）＜f（x₂）”知，函數f（x）在（0，1）上是增函數．
①∵f（x）=sinx在[0，]上是增函數，∴f（x）=sinx在（0，1）上是增函數．
②∵f（x）=x²+2x-1在[-1，+∞）上是增函數，∴f（x）=x²+2x-1在（0，1）上是增函數．
③∵f′（x）=-3x²+4，且在（-，）上f′（x）＞0，∴f（x）=-x³+4x+2在（-，）上是增函數，∴f（x）=-x³+4x+2在（0，1）上是增函數．
④∵在（0，+∞）上是減函數，∴在（0，1）上是減函數，而不是增函數．
所以排除④．
（2）性質A：存在不相等的實數x₁、x₂，使得
①對于f（x）=sinx，令x₁=1，x₂=-1，則=（sin1+sin（-1））=0，f（）=f（0）=sin0=0，
∴f（x）=sinx滿足性質A．
③對于f（x）=-x³+4x+2，令x₁=1，x₂=-1，則=×4=2，f（）=f（0）=2，
∴f（x）=-x³+4x+2滿足性質A．
②對于f（x）=x²+2x-1，假設存在不相等的實數x₁、x₂，使得
則有（x₁²+2x₁-1+x₂²+2x₂-1）=+（x₁+x₂）-1
化簡得（x₁-x₂）²=0，即x₁=x₂，這與x₁≠x₂矛盾．
∴f（x）=x²+2x-1不滿足性質A．
所以只有①③同時滿足性質A和性質B．
故選B．
點評：本題需要檢驗的方面較多，相對比較麻煩，對學生的意志力提出了更高的要求；還應注意：證明存在性問題成立，只需舉出一個例子即可；但要證明存在性問題不成立，需嚴格的邏輯推理．