Question

直線l₁過（1，0）點(diǎn)，且l₁關(guān)于直線y=x對稱直線為l₂，已知點(diǎn)（n∈N⁺）在l₂上，a₁=1，當(dāng)n≥2時，a_n+1a_n-1=a_na_n-1+a_n²．
（Ⅰ）求l₂的方程；
（Ⅱ）求{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)l₂的方程為：y=kx+b，，由l₁，l₂關(guān)于直線y=x對稱，及l(fā)₁過點(diǎn)（1，0）可得l₂過點(diǎn)（0，1），可求b
再由在直線l₂上，可得，，．及可求k
（Ⅱ）由，可知是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列．從而可得，利用疊乘法可求
解答：解：（Ⅰ）設(shè)l₂的方程為：y=kx+b，
又l₁，l₂關(guān)于直線y=x對稱，l₁過點(diǎn)（1，0），∴l(xiāng)₂過點(diǎn)（0，1），∴b=1．
又∵在直線l₂上，取n=1，2得：，，∴．
∵a_n+1a_n-1=a_na_n-1+a_n²，∴（n∈N，n≥2），
∴，∴l(xiāng)₂的方程為y=x+1．
（Ⅱ）由，可知是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列．
∵在直線l₂上，∴．∴，
∴
點(diǎn)評：本題主要考查了利用構(gòu)造法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的疊乘求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，疊加與疊乘法的求解中要注意所寫的式子的個數(shù)的判斷是解題中的易錯點(diǎn)