Question

已知{a_n}是首項(xiàng)為a₁，公比為q（q≠1）的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，且有，設(shè)b_n=2q+S_n
（1）求q的值；
（2）數(shù)列{b_n}能否為等比數(shù)列？若能，請(qǐng)求出a₁的值；若不能，請(qǐng)說明理由；
（3）在（2）的條件下，求數(shù)列{nb_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

解（1）∵q≠1
∴==1+q⁵=
∴
（2）由（1）知b_n=2q+S_n=1+=（2a₁+1）-
①若數(shù)列{b_n}能否為等比數(shù)列，則，即
∴或a₁=0（舍去）
∴
②∵b_n≠0，且n≥2時(shí)，
∴時(shí)，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列
（3）由（2）
∴
=
兩式相減可得，=
==
∴T_n=2-
分析：（1）利用已知條件，利用等比數(shù)列的求和公式，列出關(guān)于等比數(shù)列的首項(xiàng)與公比的方程組，求公比
（2）由（1）知b_n=2q+S_n=1+=（2a₁+1）-，先假設(shè)數(shù)列{b_n}能否為等比數(shù)列，則，可求，，代入檢驗(yàn)即可判斷
（3）由于b_n是有一等差數(shù)列與等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列，利用錯(cuò)位相減的方法求出前n項(xiàng)和．
點(diǎn)評(píng)：求數(shù)列的前n項(xiàng)和，一般先求出通項(xiàng)，根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)選擇合適的求和方法．