Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：x=-2交x軸于點(diǎn)A，設(shè)P是l上一點(diǎn)，M是線段OP的垂直平分線上一點(diǎn)，且滿足∠MPO=∠AOP。
（1）當(dāng)點(diǎn)P在l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）已知T（1，-1），設(shè)H是E上動(dòng)點(diǎn)，求|HO|+|HT|的最小值，并給出此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)；
（3）過(guò)點(diǎn)T（1，-1）且不平行于y軸的直線l₁與軌跡E有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求直線l₁的斜率k的取值范圍。

Answer 1

解：（1）如圖，設(shè)MQ為線段OP的垂直平分線，交OP于點(diǎn)Q， ∵ ∴ ∴，即 另一種情況（如圖2），即點(diǎn)M和A位于OP的同側(cè) 因?yàn)镸Q為線段OP的垂直平分線 ∴ 又∵ ∴ 因此M在x軸上，此時(shí)，記M（x，0），設(shè)P（-2，a）為l上任意點(diǎn)（a∈R） 由即得 ∴點(diǎn)M（x，0）的軌跡方程為y=0，x≤-1② 綜合①②得，點(diǎn)M的軌跡E的方程為；
（2）由（1）知，軌跡E的方程由E1和E2兩部分組成 當(dāng)時(shí)，過(guò)T做垂直于L的直線，垂足為T′，交E1于點(diǎn) 再過(guò)H做垂直于L的直線，交l于H ∴ ∴（該等號(hào)僅當(dāng)H′與T′重合（或H與D重合）時(shí)取得） 當(dāng)時(shí)，則 綜合可得的最小值為3，此時(shí)點(diǎn)H；
（3）由圖3可知，直線l1的斜率k不可能為0 設(shè) ∴，代入E1的方程得 ∴ ∴l(xiāng)1與E中的E1有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn) 又由E2和l1的方程可知，若l1與E2有交點(diǎn) 則此交點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，即當(dāng)時(shí)l1與E2有唯一交點(diǎn) 從上可知l1與E有三個(gè)不同的交點(diǎn) ∴直線l1斜率k的取值范圍是。