如果函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)x，存在常數(shù) M，使得不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，那么就稱函數(shù)f（x）為有界泛函．給出下面三個函數(shù)：①f（x）=1；②f（x）=x2；③．其中屬于有界泛函的是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．①②③
【答案】分析：根據(jù)有界泛函的定義逐項判斷即可：①可取x=0說明f（x）不屬于有界泛函；②可說明x≠0時，有無最大值；③可根據(jù)定義作出證明；
解答：解：①對于f（x）=1，當x=0時，有|f（x）|=1＞M×0=0，故f（x）=1不屬于有界泛函；
②對于f（x）=x2，當x≠0時，有無最大值，f（x）=x2不屬于有界泛函；
③對于f（x）=，當x≠0時，有=，當x=0時，|f（x）|=，
故f（x）=屬于有界泛函；
故選C．
點評：本題考查函數(shù)恒成立問題、新定義，考查學生分析解決問題的能力，注意體會恒成立問題的否定方法．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f（x）是定義在（0，+∞）的可導函數(shù)，且不恒為0，記gn（x）=
f(x)
n
(n∈N*)．若對定義域內(nèi)的每一個x，總有g(shù)n（x）＜0，則稱f（x）為“n階負函數(shù)”；若對定義域內(nèi)的每一個x，總有[gn(x)]′≥0，則稱f（x）為“n階不減函數(shù)”（[gn(x)]′為函數(shù)gn（x）的導函數(shù)）．
（1）若f（x）=
a
x3
-
1
x
-x（x＞0）既是“1階負函數(shù)”，又是“1階不減函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）對任給的“n階不減函數(shù)”f（x），如果存在常數(shù)c，使得f（x）＜c恒成立，試判斷f（x）是否為“n階負函數(shù)”？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•南通三模）設f（x）是定義在（0，+∞）的可導函數(shù)，且不恒為0，記gn(x)=
f(x)
xn
(n∈N*)．若對定義域內(nèi)的每一個x，總有g(shù)n（x）＜0，則稱f（x）為“n階負函數(shù)”；若對定義域內(nèi)的每一個x，總有[gn(x)]′≥0，則稱f（x）為“n階不減函數(shù)”（[gn(x)]′為函數(shù)gn（x）的導函數(shù)）．
（1）若f(x)=
a
x3
-
1
x
-x(x＞0)既是“1階負函數(shù)”，又是“1階不減函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）對任給的“2階不減函數(shù)”f（x），如果存在常數(shù)c，使得f（x）＜c恒成立，試判斷f（x）是否為“2階負函數(shù)”？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：全優(yōu)設計選修數(shù)學－2-2蘇教版 蘇教版 題型：022

已知函數(shù)y＝f(x)，設x0是定義域內(nèi)任一點，如果對x0附近的所有點x，都有f(x)＜f(x0)，則稱函數(shù)f(x)在點x0處取_________，記作_________．并把x0稱為函數(shù)f(x)的一個_________．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設f（x）是定義在（0，+∞）的可導函數(shù)，且不恒為0，記數(shù)學公式．若對定義域內(nèi)的每一個x，總有g(shù)n（x）＜0，則稱f（x）為“n階負函數(shù)”；若對定義域內(nèi)的每一個x，總有數(shù)學公式，則稱f（x）為“n階不減函數(shù)”（數(shù)學公式為函數(shù)gn（x）的導函數(shù)）．
（1）若數(shù)學公式既是“1階負函數(shù)”，又是“1階不減函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）對任給的“2階不減函數(shù)”f（x），如果存在常數(shù)c，使得f（x）＜c恒成立，試判斷f（x）是否為“2階負函數(shù)”？并說明理由．

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