Question

為研究“原函數(shù)與其反函數(shù)的圖象的交點(diǎn)是否在直線y＝x上”這個(gè)課題，我們分三步研究：

(1)首先選取如下函數(shù)：y＝2x＋1，，，分別求出以上函數(shù)與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)觀察分析上述結(jié)果得到研究結(jié)論；

(3)對得到的結(jié)論進(jìn)行證明．

Answer 1

答案：
解析：

(1)與其反函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為；　　(1分) 　　與其反函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為；　　(3分) 　　與其反函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為．　　(6分) 　　(2)原函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于直線對稱，但不一定在直線上．　　(10分) 　　(3)設(shè)點(diǎn)是的圖象與其反函數(shù)圖象的任一交點(diǎn)，由于原函數(shù)與反函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，則點(diǎn)也是的圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)，且有．　　(12分) 　　①若，交點(diǎn)顯然在直線上．　　(13分) 　�、谌�且是增函數(shù)時(shí)，有，從而有，與矛盾；若且是增函數(shù)時(shí)，有，從而有，與矛盾．　　(15分) 　　③若且是減函數(shù)時(shí)，有，從而有成立，此時(shí)交點(diǎn)不在直線上； 　　同理，若且是減函數(shù)時(shí)，交點(diǎn)也不在直線上．　　(17分) 　　綜上，若函數(shù)是增函數(shù)，且的圖象與其反函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，則交點(diǎn)一定在直線上；若函數(shù)是減函數(shù)，且的圖象與其反函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，則交點(diǎn)不一定在直線上．　　(18分)