Question

如表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)．

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（1）請畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖；
（2）請求出y關(guān)于x的線性回歸方程

y

=a+bx；
（3）已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤，試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？
注：線性回歸方程系數(shù)公式
b=

n i=1 (xi- . x )(yi- . y )

n i=1 (xi- . x )2

=

n i=1 xiyi-n . x . y

n i=1 xi2- n -2 x

，a=

.

y

-b

.

x

．

Answer 1

分析：（1）利用表中數(shù)據(jù)描點，畫圖；
（2）根據(jù)所給的這組數(shù)據(jù)求出利用最小二乘法所需要的幾個數(shù)據(jù)，代入求系數(shù)b的公式，求得結(jié)果，再把樣本中心點代入，求出a的值，得到線性回歸方程．
（3）根據(jù)上一問所求的線性回歸方程，把x=100代入線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低標(biāo)準(zhǔn)煤的數(shù)量

解答：（1）畫出散點圖．

解：（2）由對照數(shù)據(jù)，計算得

4

i=1

xi2=86，

.

x

=

3+4+5+6

4

=4.5，

.

y

=

2.5+3+4+4.5

4

=3.5，

4

i=1

xiyi=66.5，4

.

x

•

.

y

=63，4

.

x

2=81，
∴b=

66.5-63

86-81

=0.7，a=3.5-0.7×4.5=0.35，
∴所求線性回歸方程為

y

=0.7x+0.35
（3）由（2）求出的線性回歸方程，
預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低標(biāo)準(zhǔn)煤數(shù)量為：
90-（0.7×100+0.35）=19.65（噸標(biāo)準(zhǔn)煤噸）．

點評：本題考查線性回歸方程的求法與應(yīng)用，本題是考查此類問題的典型題目，要注意掌握此類題目的解法．