已知點M(0,-1),直線l:y=mx+1與曲線C:ax2+y2=2(m,a∈R)交于A、B兩點.
(1)當m=0時,有∠AOB=
π
3
,求曲線C的方程;
(2)當實數(shù)a為何值時,對任意m∈R,都有
OA
OB
為定值T?指出T的值;
(3)設動點P滿足
MP
=
OA
+
OB
,當a=-2,m變化時,求點P的軌跡方程;
(4)是否存在常數(shù)M,使得對于任意的a∈(0,1),m∈R,都有
OA
OB
<M
恒成立?如果存在,求出的M得最小值;如果不存在,說明理由.
(1)由題意,直線方程為y=1,代入曲線C:ax2+y2=2可得 A(-
1
a
,1)
,B(
1
a
,1)

∠AOB=
π
3
,∴tan300 =
1
a
,∴a=3
∴曲線C的方程為3x2+y2=2
(2)將直線l:y=mx+1與曲線C:ax2+y2=2聯(lián)立,化簡得(a+m2)x2+2mx-1=0
設A(x1,y1),B(x2,y2),則知 x1+x2=-
2m
m2+a
x1x2=
-1
m2+a
,
∴x1x2+y1y2=
-1
m2+a
+(mx1+1)(mx2+1)=
m 2-1
m2+a
+1

對任意m∈R,都有
OA
OB
=T
成立.
得x1x2+y1y2=T定值,
∴可有a=-1,此時T=2;
(3)由(2)知 x1+x2=
2m
m2-2
y1+y2=
4m2-4
m2-2

設P(x,y),則(x,y+1)=(x1+x2,y1+y2
x=-
2m
m2-2
,y=-
m2+2
m2-2

消去m得:(y-2)2-2x2=1,此即為點P的軌跡方程;
(4)由(2)知:
OA
OB
=
m 2-1
m2+a
+1
,
對于任意的a∈(0,1),m∈R,它的最大值小于2,
故取M的值大于2時,都有
OA
OB
<M
恒成立,
故存在常數(shù)M,使得對于任意的a∈(0,1),m∈R,都有
OA
OB
<M
恒成立,
M得最小值為2.
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MP
MQ
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π
3
,求曲線C的方程;
(2)當實數(shù)a為何值時,對任意m∈R,都有
OA
OB
=-2
成立.
(3)設動點P滿足
MP
=
OA
+
OB
,當a=-2,m變化時,求|OP|的取值范圍.

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