Question

【題目】如圖，在Rt△AOB中，∠OAB= ，斜邊AB=4．Rt△AOC可以通過(guò)Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B﹣AO﹣C是直二面角，動(dòng)點(diǎn)D在斜邊AB上．
（Ⅰ）求證：平面COD⊥平面AOB；
（Ⅱ）當(dāng)VA﹣DOC：VA﹣BOC=1：2時(shí)，求CD與平面AOB所成角的大小．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）由題意，CO⊥AO，BO⊥AO，
∴∠BOC是二面角B﹣AO﹣C是直二面角，
又∵二面角B﹣AO﹣C是直二面角，∴CO⊥BO，
又∵AO∩BO=O，∴CO⊥平面AOB，
又CO平面COD，∴平面COD⊥平面AOB．
解：（Ⅱ）當(dāng)VA﹣DOC：VA﹣BOC=1：2時(shí)，D為AB中點(diǎn)，
以O(shè)為原點(diǎn)，OC為x軸，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，如圖，
則B（0，2，0），A（0，0，2 ），C（2，0，0），D（0，1， ），
∴ =（﹣2，1， ），
平面AOB的法向量 =（1，0，0），
設(shè)CD與平面AOB所成角為θ，
則sinθ= = = ．
∴θ=45°．
∴CD與平面AOB所成角為45°．

【解析】（Ⅰ）由題意，CO⊥AO，BO⊥AO，∠BOC是二面角B﹣AO﹣C是直二面角，從而CO⊥BO，進(jìn)而CO⊥平面AOB，由此能證明平面COD⊥平面AOB．（Ⅱ）當(dāng)VA﹣DOC：VA﹣BOC=1：2時(shí)，D為AB中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)，OC為x軸，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，利用向量法能求出CD與平面AOB所成角．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平面與平面垂直的判定和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．