Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$+ax．
（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a=1代入f（x），求出f（1），f′（1），從而求出切線方程；
（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為：a＞-$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$，（x＞0），令g（x）=-$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$，通過函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最小值，從而求出a的范圍．

解答 解：（1）a=1時：
f（x）=$\frac{lnx}{x}$+x，f′（x）=$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$+1，
∴f（1）=1，f′（1）=2，
∴切線方程是：y-1=2（x-1），
即：y=2x-1；
（2）f′（x）=$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$+a，
若函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
則f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
即：a＞-$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$，（x＞0），
令g（x）=-$\frac{1+lnx}{{x}^{2}}$，則g′（x）=$\frac{2lnx+1}{{x}^{3}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞$\frac{\sqrt{e}}{e}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{\sqrt{e}}{e}$，
∴函數(shù)g（x）在（0，$\frac{\sqrt{e}}{e}$）遞減，在（$\frac{\sqrt{e}}{e}$，+∞）遞增，
∴g（x）_最小值=g（$\frac{\sqrt{e}}{e}$）=-$\frac{e}{2}$，
∴a＞-$\frac{e}{2}$．

點評 本題考查了曲線的切線方程，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．