【題目】已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)求函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù);
(Ⅱ)證明: 是函數(shù)存在最小值的充分而不必要條件.
【答案】(I)詳見解析;(II)詳見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ)對函數(shù)求導(dǎo)有 ,令,求出根,得到 的零點(diǎn)個數(shù),注意分情況討論;(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)的分類討論,分別利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值的關(guān)系以及充分不必要條件的定義即可證明.
試題解析:
(Ⅰ)由,
得
令,得,或.
所以當(dāng)時,函數(shù)有且只有一個零點(diǎn): ;當(dāng)時,函數(shù)有兩個相異的零點(diǎn): , .
(Ⅱ)①當(dāng)時, 恒成立,此時函數(shù)在上單調(diào)遞減,
所以,函數(shù)無極值.
②當(dāng)時, , 的變化情況如下表:
所以, 時, 的極小值為.
又時, ,
所以,當(dāng)時, 恒成立.
所以, 為的最小值.
故是函數(shù)存在最小值的充分條件.
③當(dāng)時, , 的變化情況如下表:
因?yàn)楫?dāng)時, ,
又,
所以,當(dāng)時,函數(shù)也存在最小值.
所以, 不是函數(shù)存在最小值的必要條件.
綜上, 是函數(shù)存在最小值的充分而不必要條件.
點(diǎn)睛; 本題注意考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值的關(guān)系,屬于中檔題. 涉及的考點(diǎn)有:用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值,充分不必要條件的判斷,根的存在及個數(shù)判斷. 考查了學(xué)生分析問題和轉(zhuǎn)化的能力以及分類討論思想.
年級 | 高中課程 | 年級 | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(Ⅰ)給出的一個取值,使得曲線存在斜率為的切線,并說明理由;
(Ⅱ)若存在極小值和極大值,證明: 的極小值大于極大值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 , 是坐標(biāo)原點(diǎn), 分別為其左右焦點(diǎn), , 是橢圓上一點(diǎn), 的最大值為
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若直線與橢圓交于兩點(diǎn),且
(i)求證: 為定值;
(ii)求面積的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知{an}是等差數(shù)列,滿足a1=3,a5=15,數(shù)列{bn}滿足b1=4,b4=20,且{bn﹣an}(n∈N+)是等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an , 前n項(xiàng)和為sn , 且an是sn與2的等差中項(xiàng),數(shù)列{bn}中,b1=1,點(diǎn)P(bn , bn+1)在直線x﹣y+2=0上. (Ⅰ)求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式an , bn
(Ⅱ)設(shè){bn}的前n項(xiàng)和為Bn , 試比較 與2的大小.
(Ⅲ)設(shè)Tn= ,若對一切正整數(shù)n,Tn<c(c∈Z)恒成立,求c的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線與拋物線相切,且與軸的交點(diǎn)為,點(diǎn).若動點(diǎn)與兩定點(diǎn)所構(gòu)成三角形的周長為6.
(Ⅰ) 求動點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅱ) 設(shè)斜率為的直線交曲線于兩點(diǎn),當(dāng),且位于直線的兩側(cè)時,證明: .
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn),在培訓(xùn)期間他們參加的5次預(yù)寒成績記錄如下:
甲:82,82,79,95,87
乙:95,75,80,90,85
(1)用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù);
(2)求甲、乙兩人成績的平均數(shù)與方差;
(3)若現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽,你認(rèn)為選派哪位學(xué)生參加合適,說明理由?
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓,過點(diǎn)作直線交圓于兩點(diǎn),分別過兩點(diǎn)作圓的切線,當(dāng)兩條切線相交于點(diǎn)時,則點(diǎn)的軌跡方程為__________.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com