Question

如圖，在四面體ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB=120°，且OA=OB=OC=1
（I）設(shè)P為線段AC的中點，試在線段AB上求一點E，使得PE⊥OA；
（II）求二面角O-AC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）以O(shè)為坐標原點，分別以O(shè)A、OF、OC所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)=λ，我們求出向量，的根據(jù)PE⊥OA，我們易構(gòu)造關(guān)于λ的方程，解方程求出λ的值，進而求出P點的位置；
（II）我們求出平面ABC的法向量和平面OAC的法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角O-AC-B的平面角的余弦值．
解答：解：在平面內(nèi)AOB過點O作OF⊥OA交AB于點F．
以O(shè)為坐標原點，分別以O(shè)A、OF、OC所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系（如圖）．…（1分）
則A（1，0，0）、C（0，0，1）、B（-，，0）、P（，0，）．…．…..（3分）
（I）設(shè)=λ（0＜λ＜1），因為=（-，，0），
所以=+=（1，0，0）+λ（-，，0）=（1-λ，λ，0），
=-=（-λ，λ，-），
因為PE⊥OA，所以•=0．即-λ=0，解得λ=．
故所求點為E（，，0）．
即點E為線段AB的三等分點（靠近點A）．…（7分）
（II）設(shè)平面ABC的法向量為=（x，y，z），=（1，0，-1），
由得．
令z=1得x=1，y=．即=（1，，1）．…..（9分）
又=（0，1，0）是平面OAC的法向量，…（10分）
所以cos＜，＞=．
故二面角O-AC-B的平面角的余弦值為．…（12分）
點評：本題考查的知識點是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，其中（I）的關(guān)鍵是根據(jù)PE⊥OA，構(gòu)造關(guān)于λ的方程，解方程求出λ的值，（II）的關(guān)鍵是求出平面ABC的法向量和平面OAC的法向量，將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題．