Question

已知

A

5 n

=56

C

7 n

，且（1-2x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ．
（1）求n的值；
（2）求a₁+a₂+a₃+…+a_n的值；
（3）求展開式中系數(shù)絕對值最大的項是第幾項．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，將

A

5 n

=56

C

7 n

按排列、組合公式展開化簡可得（n-5）（n-6）=90，解可得：n=15或n=-4，又由排列、組合數(shù)的定義，可得n的范圍，即可得答案；
（2）由（Ⅰ）中求得n的值，可得（1-2x）¹⁵=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₁₅x¹⁵，令x=1可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₁₅=-1，令令x=0得a₀=1，兩式相減可得答案．
（3）根據(jù)展開式的通項公式，可得展開式中第r+1項的系數(shù)絕對值為 2^r•

C

r 15

．由

2r• C  r 15 ≥2 r-1 C  r-1 15 2r• C  r 15 ≥2 r+1 •C r+1 15

求得 r=10，可得展開式中系數(shù)絕對值最大的項是第11項．

解答：解：（1）∵已知

A

5 n

=56

C

7 n

，∴n（n-1）（n-2）（n-3）（n-4）=56•

n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)

7•6•5•4•3•2•1

，
即（n-5）（n-6）=90，解之得：n=15或n=-4（舍去），∴n=15．
（2）（Ⅱ）當n=15時，由已知有（1-2x）¹⁵=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₁₅x¹⁵，
令x=1得：a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₁₅=-1，再令x=0得：a₀=1，∴a₁+a₂+a₃+…+a₁₅=-2．
（3）展開式的通項公式為 T_r+1=

C

r 15

 •(-2x) r，故展開式中第r+1項的系數(shù)絕對值為 2^r•

C

r 15

．
由

2r• C  r 15 ≥2 r-1 C  r-1 15 2r• C  r 15 ≥2 r+1 •C r+1 15

 解得

29

3

≤r≤

32

3

，
∴r=10，故展開式中系數(shù)絕對值最大的項是第11項．

點評：本題考查二項式定理的應用、二項式系數(shù)的性質(zhì)，解題時要注意排列、組合數(shù)的定義、性質(zhì)，其次注意靈活運用賦值法，屬于中檔題．