Question

10．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\frac{1}{2}$，在x軸上有一點(diǎn)M（-3，0）滿(mǎn)足$\overrightarrow{M{F_2}}=2\overrightarrow{M{F_1}}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線(xiàn)l與直線(xiàn)x=2交于點(diǎn)A，與直線(xiàn)x=-2交于點(diǎn)B，且$\overrightarrow{{F_2}A}•\overrightarrow{{F_2}B}=0$，判斷并證明直線(xiàn)l與橢圓C的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的焦距為2c，由題意列a，c的方程組，求得a，c的值，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出直線(xiàn)l的方程為：y=kx+m，可得A（2，2k+m），B（-2，m-2k），由$\overrightarrow{{F_2}A}•\overrightarrow{{F_2}B}=0$，得（1，2k+m）•（-3，m-2k）=0，即m²=4k²+3．聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用判別式等于0得答案．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的焦距為2c，由題意有：$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{c+3=2（-c+3）}\end{array}\right.$，解得a=2，c=1．
∴b²=a²-c²=3．
則橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由題意可知直線(xiàn)l的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)l的方程為：y=kx+m．
則A（2，2k+m），B（-2，m-2k），
由$\overrightarrow{{F_2}A}•\overrightarrow{{F_2}B}=0$，得（1，2k+m）•（-3，m-2k）=0，
即m²=4k²+3．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
∵△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=4（48k²-12m²+36）=0．
∴直線(xiàn)l與橢圓C的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，可直線(xiàn)與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了向量垂直與數(shù)量積間關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．