Question

已知f(log2x)=x2-2x+4，x∈[2，4]
（1）求f（x）的解析式及定義域；
（2）若方程f（x）=a有實數根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令t=log₂x，利用換元法，可求出f（x）的解析式，進而將x反表示為x=2^t，結合x∈[2，4]，求出中間元t的取值范圍，即為f（x）的定義域；
（2）根據（1）中函數的解析式，結合二次函數的圖象和性質及指數函數的圖象和性質，求出函數f（x）值域，可得方程f（x）=a有實數根時，實數a的取值范圍．

解答：解：（1）令t=log₂x，則x=2^t，
∵x∈[2，4]
∴t∈[1，2]
由f(log2x)=x2-2x+4得
f（t）=（2^t）²-2•2^t+4=2^2t-2^t+1+4，t∈[1，2]
∴f（x）=2^2x-2^x+1+4，x∈[1，2]
（2）∵f（x）=（2^x-1）²+3，x∈[1，2]
故當x=1時，函數f（x）取最小值4
當x=2時，函數f（x）取最大值12
若方程f（x）=a有實數根，
則a∈[4，12]
即實數a的取值范圍為[4，12]

點評：本題考查的知識點是函數解析式的求解及常用方法，函數的定義域及其求法，函數的零點，熟練掌握換元法求解析式的方法與步驟是解答的關鍵．