Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sinxcosx-cos²x-

1

2

，
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間．
（2）設(shè)△ABC中，c=3，f（C）=0，若sin（A+C）=2sinA，求a、b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的正弦,兩角和與差的正弦函數(shù),二倍角的余弦,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）先將函數(shù)化簡(jiǎn)，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間．
（2）求出C，A，B，再利用三角函數(shù)求解即可．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sinxcosx-cos²x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1=sin（2x-

π

6

）-1，
由2x-

π

6

∈[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ]，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[

π

3

+kπ，

5π

6

+kπ]（k∈Z）；
（2）f（C）=sin（2C-

π

6

）-1，∴C=

π

3

．
∵sin（A+C）=2sinA，
∴

1

2

sinA+

3

2

cosA=2sinA，
∴tanA=

3

3

，
∴A=

π

6

，
∴B=

π

2

，
∵c=3，
∴a=

2 3

3

，b=

4 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角恒等變化與化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角恒等變換公式，對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求值，本題考查了函數(shù)與方程的思想及運(yùn)算變形的能力，是三角函數(shù)中有一定綜合性的題．