Question

（2011•聊城一模）已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-2（n∈N^*），數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，且b₁=3，b₁₀-b₄=6
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設cn=

bn

an

，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式，由數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，且b₁=3，b₁₀-b₄=6知{b_n}的通項公式易求，由S_n=2a_n-2（n∈N^*），再構造出S_n+1=2a_n+1-2（n∈N^*），作差，尋求數(shù)列{a_n}相鄰項間的關系，研究其性質．
（Ⅱ）設cn=

bn

an

，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．由數(shù)列{c_n}的通項的性質發(fā)現(xiàn)，求解此題要用錯位相減法．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n=2a_n-2（n∈N^*），∴S_n+1=2a_n+1-2（n∈N^*），兩式相減得a_n+1=2a_n+1-2a_n，
∴a_n+1=2a_n，又S₁=2a₁-2，a₁=2，故數(shù)列{a_n}是首項為2，公比是2的等比數(shù)列，
數(shù)列{a_n}的通項公式是a_n=2ⁿ（n∈N^*），
∵數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，且b₁=3，b₁₀-b₄=6
∴6d=6，d=1，
∴b_n=n（n∈N^*），
（Ⅱ）cn=

bn

an

=

n

2n

，
∴T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

①，

1

2

T_n=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，②
①-②得∵

1

2

T_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

=1-

n+2

2n+1

∴T_n=2-

n+2

2n

點評：本題考查等差等比數(shù)列的綜合，考查了等差數(shù)列的通項公式以及數(shù)列的遞推式推證數(shù)數(shù)列的通項，本題第二問采用了錯位相減法求和，如果一個數(shù)列的項是由一個等差數(shù)列的項與一個等比數(shù)列的相應項乘積組成，即可用錯位相減法求和．本題易因錯位相減時規(guī)則不熟悉出錯，要好好研究．