已知函數(shù)(x∈R,p1,p2為常數(shù)),函數(shù)f(x)定義為:對(duì)每個(gè)給定的實(shí)數(shù)x,
(1)求f(x)=f1(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)x成立的充分必要條件(用p1,p2表示);
(2)設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù),滿足a<b且p1,p2∈(a,b),若f(a)=f(b),求證:函數(shù) f(x)在區(qū)間[a,b]上的單調(diào)增區(qū)間的長度之和為(閉區(qū)間[m,n]的長度定義為n-m)。
解:(1)由f(x)的定義可知,f(x)=f1(x)(對(duì)所有實(shí)數(shù)x)等價(jià)于f1(x)≤f2(x)(對(duì)所有實(shí)數(shù)x),這又等價(jià)于
即3|x-p1|-|x -p2|≤2對(duì)所有實(shí)數(shù)x均成立 (*)
易知函數(shù)|x-p1|-|x-p2|(x∈R)的最大值為|p2-p1|
故(*)等價(jià)于
這就是所求的充分必要條件。
(2)分兩種情形討論:
(i)當(dāng)時(shí),由(1)知f(x)=f1(x)(對(duì)所有實(shí)數(shù)x∈[a,b]),
則由f(a)=f(b)及a<p1<b易知
再由f1(x)的單調(diào)性可知,f(x)在區(qū)間[a,b]上的單調(diào)增區(qū)間的長度為
如圖所示。
(ii)當(dāng)時(shí),不妨設(shè)p1<p2
于是,當(dāng)x≤p1時(shí),有
從而f(x)=f1(x)
當(dāng)x≥p2時(shí)
從而
當(dāng)p1<x<p2時(shí),
由方程
解得f1(x)與f2(x)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

顯然
這表明x0在p1與p2之間,由①易知
 
綜上可知,在區(qū)間[a,b]上
如圖所示
故由函數(shù)f1(x)與f(x)的單調(diào)性可知,f(x)在區(qū)間[a,b]上的單調(diào)增區(qū)間的長度之和為(x0-p1)+(b-p2
由于f(a)=f(b),即
故由①、②得

綜合(i)、(ii)可知,f(x)在區(qū)間[a,b]上的單調(diào)增區(qū)間的長度之和為。
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(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小值;
(Ⅱ)已知m∈R,命題p:關(guān)于x的不等式f(x)≥m2+2m-2對(duì)任意x∈R恒成立;命題q:函數(shù)y=(m2-1)x是增函數(shù).若“p或q”為真,“p且q”為假,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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