Question

已知“函數(shù)、數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)P（a，b）成中心對稱圖形”的充要條件為“函數(shù)y=f（x+a）-b是奇函數(shù)”，現(xiàn)有以下四個函數(shù)，
①y=

1-2x

x-4

 ②y=（x-2）|x-2|+

1

2

x ③y=-

8

2x+4

 ④y=log₂

2x

4-x

其中具有相同對稱中心的兩個函數(shù)的序號是（　�。�

• A、①和③
• B、①和④
• C、②和③
• D、②和④

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)成中心對稱的等價(jià)條件進(jìn)行判斷即可．

解答： 解：①若y=

1-2x

x-4

=

-2(x-4)-7

x-4

=-2-

7

x-4

，則y=f（x+4）-（-2）=-

1

x

為奇函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于（4，-2）對稱，故①滿足條件．排除C，D．
 ④設(shè)g（x）=log₂

2x

4-x

的對稱中心為點(diǎn)P（a，b），
則函數(shù)f（x）=g（x+a）-b=log₂

2(x+a)

4-(x+a)

-b是奇函數(shù)，
由函數(shù)的定義域，即不等式

2(x+a)

4-(x+a)

＞0的解集關(guān)于原點(diǎn)對稱，可得a=2，
此時(shí)f（x）=log₂

2(x+2)

2-x

-b，x∈（-2，2）
由f（-x）+f（x）=log₂

2(-x+2)

2+x

+log₂

2(x+2)

2-x

-2b=2-2b=0得：b=1
故函數(shù)g（x）=log₂

2x

2-x

的對稱中心為點(diǎn)（2，1），
故④滿足條件，
故選：B．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)對稱性的判斷，根據(jù)條件利用平移關(guān)系證明函數(shù)是奇偶性是解決本題的關(guān)鍵．