Question

已知四棱錐的底面是菱形．，，，與交于點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052218122407814677/SYS201205221825016718722929_DA.files/image001.png">，分別為，的中點(diǎn)，

            所以∥．

            又平面,平面．

            所以∥平面．

（Ⅱ）證明：連結(jié)，

            因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052218122407814677/SYS201205221825016718722929_DA.files/image012.png">，

所以．

在菱形中，，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052218122407814677/SYS201205221825016718722929_DA.files/image016.png">，

所以平面．

又平面，

所以．

在直角三角形中，，，

所以．

又，為的中點(diǎn)，

所以．

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052218122407814677/SYS201205221825016718722929_DA.files/image029.png">

所以平面．

（Ⅲ）解：過(guò)點(diǎn)作∥，所以平面．

如圖，以為原點(diǎn)，，，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．

可得，，，，　　

，．

所以，，

．

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則

，即，

令，則．

設(shè)直線與平面所成的角為，

可得．

所以直線與平面所成角的正弦值為．

【解析】略