【題目】如圖,在三棱錐中,,點(diǎn)為邊的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:平面平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2).
【解析】分析:(1)由題意,平面,得,又△為等邊三角形,得,與相交于點(diǎn),利用線面垂直的判定定理得 平面,再由面面垂直的判定定理,即可得到結(jié)論.
(2)由(1)可知,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),直線為軸,直線為軸,過(guò)點(diǎn)且與平面垂直的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,求得平面和平面的法向量,利用向量的夾角公式,即可得到二面角的余弦值.
詳解:(1)由題意,平面,平面,可得,又△為等邊三角形,點(diǎn)為邊的中點(diǎn),可得,與相交于點(diǎn),則 平面,平面,所以,平面 平面.
(2)由(1)可知,在直角三角形中,,,可得,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),直線為軸,直線為軸,過(guò)點(diǎn)且與平面垂直的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.
可得,,,,
,,,,
設(shè)為平面的一個(gè)法向量,則
,得,
同理可得,為平面的一個(gè)法向量,
設(shè)二面角的平面角為,
,
所以,二面角余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某廠擬生產(chǎn)甲、乙兩種適銷產(chǎn)品,每件銷售收入分別為3000元,2000元.甲、乙產(chǎn)品都需要在A、B兩種設(shè)備上加工,在每臺(tái)A、B設(shè)備上加工一件甲所需工時(shí)分別為1,2,加工一件乙設(shè)備所需工時(shí)分別為2,1.A、B兩種設(shè)備每月有效使用臺(tái)時(shí)數(shù)分別為400和500,分別用表示計(jì)劃每月生產(chǎn)甲,乙產(chǎn)品的件數(shù).
(Ⅰ)用列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式,并畫(huà)出相應(yīng)的平面區(qū)域;
(Ⅱ)問(wèn)分別生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品各多少件,可使收入最大?并求出最大收入.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知四邊形為直角梯形,,,且,,點(diǎn),分別在線段和上,使四邊形為正方形,將四邊形沿翻折至使.
(1)若線段中點(diǎn)為,求翻折后形成的多面體的體積;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某區(qū)組織部為了了解全區(qū)科級(jí)干部“黨風(fēng)廉政知識(shí)”的學(xué)習(xí)情況,按照分層抽樣的方法,從全區(qū)320名正科級(jí)干部和1280名副科級(jí)干部中抽取40名科級(jí)干部預(yù)測(cè)全區(qū)科級(jí)干部“黨風(fēng)廉政知識(shí)”的學(xué)習(xí)情況.現(xiàn)將這40名科級(jí)干部分為正科級(jí)干部組和副科級(jí)干部組,利用同一份試卷分別進(jìn)行預(yù)測(cè).經(jīng)過(guò)預(yù)測(cè)后,兩組各自將預(yù)測(cè)成績(jī)統(tǒng)計(jì)分析如下表:
分組 | 人數(shù) | 平均成績(jī) | 標(biāo)準(zhǔn)差 |
正科級(jí)干部組 | 80 | 6 | |
副科級(jí)干部組 | 70 | 4 |
(1)求;
(2)求這40名科級(jí)干部預(yù)測(cè)成績(jī)的平均分和標(biāo)準(zhǔn)差;
(3)假設(shè)該區(qū)科級(jí)干部的“黨風(fēng)廉政知識(shí)”預(yù)測(cè)成績(jī)服從正態(tài)分布,用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值.利用估計(jì)值估計(jì):該區(qū)科級(jí)干部“黨風(fēng)廉政知識(shí)”預(yù)測(cè)成績(jī)小于60分的約為多少人?
附:若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則;;.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)a為非負(fù)實(shí)數(shù),函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),畫(huà)出函數(shù)的草圖,并寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為實(shí)常數(shù).
(Ⅰ)判斷的奇偶性;
(Ⅱ)若對(duì)任意,使不等式恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng),顧客購(gòu)買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng),每次抽獎(jiǎng)都是從裝有個(gè)紅球、個(gè)白球的甲箱和裝有個(gè)紅球、個(gè)白球的乙箱中,各隨機(jī)摸出一個(gè)球,在摸出的個(gè)球中,若都是紅球,則獲得一等獎(jiǎng);若只有個(gè)紅球,則獲得二等獎(jiǎng);若沒(méi)有紅球,則不獲獎(jiǎng).
(1)求顧客抽獎(jiǎng)次能獲獎(jiǎng)的概率;
(2)若某顧客有次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),記該顧客在次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)有下面四個(gè)命題:
:若,則;
:若,則;
:若,則;
:若,則.
其中的真命題為( )
A. , B. , C. , D. ,
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