Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，滿足a₂=5，a₄=13．數(shù)列{b_n}的前n項和是T_n，且T_n+b_n=3．
（1）求數(shù)列{a_n}及數(shù)列{b_n}的通項公式；
（II）若c_n=a_n•b_n，試比較c_n與c_n+1的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ι）由數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，根據(jù)a₂=5，a₄=13，利用等差數(shù)列的性質求出公差d的值，進而由a₂及d的值，可得出等差數(shù)列{a_n}的通項公式，當n=1時，T₁=b₁，根據(jù)T_n+b_n=3①，得到b₁的值，再由數(shù)列的遞推式得到T_n-T_n-1=b_n，由T_n-1+b_n-1=3，記作②，①-②得到b_n=b_n-1，可確定出此數(shù)列為公比為的等比數(shù)列，寫出{b_n}的通項公式即可；
（II）將第一問得到的數(shù)列{a_n}及數(shù)列{b_n}的通項公式代入c_n=a_n•b_n，整理后，表示出c_n-c_n-1，令c_n-c_n-1=0，求出n的值，可得出c_n-c_n-1大于0及小于0時n的范圍，進而得出n為1或2時，c_n＞c_n-1；當n≥3時，c_n＜c_n-1．
解答：解：（Ι）∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，滿足a₂=5，a₄=13，
∴公差d==4，
∴a_n=a₂+（n-2）d=4n-3，
∵數(shù)列{b_n}的前n項和是T_n，T_n+b_n=3①，
∴當n=1時，T₁=b₁，即b₁=；
當n≥2時，T_n-T_n-1=b_n，由題意可得T_n-1+b_n-1=3②，
①-②得：2b_n-b_n-1=0，即b_n=b_n-1，即公比q=，
∴b_n=•（）^n-1；
（II）∵a_n=4n-3，b_n=•（）^n-1，
∴c_n=a_n•b_n=（4n-3）••（）^n-1=（6n-）•（）^n-1，
令c_n-c_n-1=（）^n-1（6n--12n+21）=（）^n-1（-6n）=0，
解得：n=，
則n=2時，c_n＞c_n-1；當n≥3時，c_n＜c_n-1．
點評：此題考查了等差數(shù)列的性質，等比數(shù)列的確定，等差、等比數(shù)列的通項公式，以及作差法的運用，熟練掌握性質及公式是解本題的關鍵．