Question

定義在區(qū)間[0，a]上的函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，記以A（0，f（0）），B（a，f（a）），C（x，f（x））為頂點(diǎn)的三角形的面積為S（x），則函數(shù)S（x）的導(dǎo)函數(shù)S′（x）的圖象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：先分析出函數(shù)S（x）的表達(dá)式為|AB|•h，其中h為點(diǎn)C到直線AB的距離且|AB|為定值，再利用h在區(qū)間[0，a]上的變化情況，得出函數(shù)S（x）的增減變化，即可得到其導(dǎo)函數(shù)S′（x）的圖象．
解答：解：連接AB，BC，CA，以AB為底，C到AB的距離為高h(yuǎn)．讓C從A運(yùn)動到B，明顯h是一個(gè)平滑的變化，這樣S（x）也是平滑的變化．
因?yàn)楹瘮?shù)S（x）=|AB|•h，其中h為點(diǎn)C到直線AB的距離．|AB|為定值．
當(dāng)點(diǎn)C在（0，x₁]時(shí)，h越來越大，s也越來越大，即原函數(shù)遞增，故導(dǎo)函數(shù)為正；
當(dāng)點(diǎn)C在[x₁，x₂）時(shí)，h越來越小，s也越來越小，即原函數(shù)遞減，故導(dǎo)函數(shù)為負(fù)；變化率的絕對值由小邊大；
當(dāng)點(diǎn)C在（x₂，x₃]時(shí)，h越來越大，s也越來越大，即原函數(shù)遞增，故導(dǎo)函數(shù)為正；變化率由大變小；
當(dāng)點(diǎn)C在[x₃，a）時(shí)，h越來越小，s也越來越小，即原函數(shù)遞減，故導(dǎo)函數(shù)為負(fù)．
故選 D．
點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系．它們之間的關(guān)系是，原函數(shù)遞增，導(dǎo)函數(shù)為正；原函數(shù)遞減，導(dǎo)函數(shù)為負(fù)．