Question

若函數f(x)=

1

2

x2-x+a的定義域和值域均為[1，b]（b＞1），求a，b的值．

Answer 1

分析：由二次函數的性質知，其對稱軸是x=1，由此知函數在[1，b]是一個增函數，由題設條件定義域和值域均為[1，b]（b＞1），即可轉化出關于a，b的方程，求解即可．

解答：解：由函數f(x)=

1

2

x2-x+a，得對稱軸方程是x=1
故函數在[1，b]上是增函數
又函數f(x)=

1

2

x2-x+a的定義域和值域均為[1，b]（b＞1），
故有

f(1)=1 f(b)=b

，即

1 2 -1+a=1 1 2 b2-b+a=b

即

a= 3 2 b=1，或3

又b＞1，故有a=

3

2

，b=3
符合題設條件的a，b的值為 a=

3

2

，b=3．

點評：本題的考點是二次函數的性質，考查利用二次函數的單調性轉化不等式求參數，此類題是函數單調性運用的一個常見題型，本題有可能因不嚴謹致錯，如解題中忘記考慮b＞1這一條件，致使出現(xiàn)二個結果．