已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．
（1）證明E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；
（2）證明BD∥平面EFGH．
分析：（1）由向量加法法則得
BG
=
1
2
（
BC
+
BD
），從而得到
EG
=
EB
+
BG
=
EB
+
1
2
（
BC
+
BD
），結(jié)合F是BC中點(diǎn)、EH是△ABD的中位線，可得
EG
=
EF
+
EH
，從而得到得
EG
、
EF
、
EH
是共面的向量，由此可得E、F、G、H四點(diǎn)共面；
（2）根據(jù)向量加法的三角形法則，結(jié)合三角形中位線定理得到
BD
=2
EG
+2
GH
，從而向量
BD
與
EG
，
GH
共面．再由BD是平面EFGH的殊一條直線，可得BD∥平面EFGH．
解答：解：如圖，連結(jié)EG，BG．
（1）∵BG是△BCD的中線，可得
BG
=
1
2
（
BC
+
BD
）
∴
EG
=
EB
+
BG
=
EB
+
1
2
（
BC
+
BD
）
∵
BF
=
1
2
BC
，
EH
=
1
2
BD

∴
EG
=
EB
+
BF
+
EH
=
EF
+
EH
，
根據(jù)向量共面的充要條件，得
可得E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．
（2）∵
EH
=
EA
+
AH
，
EH
=
EG
+
GH

∴
BD
=
BA
+
AD
=2
EA
+2
AH
=2
EH
=2（
EG
+
GH
）=2
EG
+2
GH
，
結(jié)合
EG
，
GH
不共線，可得
BD
與
EG
，
GH
共面．
又∵BD?面EFGH，∴BD∥面EFGH．
點(diǎn)評：本題采用向量的線性運(yùn)算的方法證明四點(diǎn)共面和線面平行．著重考查了三角形中位線定理、向量的加減法法則等知識，考查了向量共面與線面平行的關(guān)系，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．
（1）用向量法證明E，F(xiàn)，G，H（2）四點(diǎn)共面；
（2）用向量法證明：BD∥平面EFGH；
（3）設(shè)M是EG和FH的交點(diǎn)，求證：對空間任一點(diǎn)O，有
OM
=
1
4
(
OA
+
OB
+
OC
+
OD
)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在正方體AC1中，已知E、F、G、H分別是CC1、BC、CD和A1C1的中點(diǎn)．證明：
（1）AB1∥GE，AB1⊥EH；
（2）A1G⊥平面EFD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).

（1）用向量法證明E、F、G、H四點(diǎn)共面；

（2）用向量法證明BD∥平面EFGH.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年蘇教版高中數(shù)學(xué)選修2-1 3.1空間向量及其坐標(biāo)運(yùn)算練習(xí)卷（解析版） 題型：解答題

已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，

（1）求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面；

（2）求證：BD∥平面EFGH；

（3）設(shè)M是EG和FH的交點(diǎn)，求證：對空間任一點(diǎn)O，有=（+++）.

 

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