Question

如圖，點(diǎn)A在直徑為15的⊙O上，PBC是過(guò)點(diǎn)O的割線，且PA=10，PB=5．
（Ⅰ）求證：PA與⊙O相切；
（Ⅱ）求S△_ACB的值．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線的判定定理的證明

專題：選作題,立體幾何

分析：（Ⅰ）利用勾股定理證明PA⊥OA，再利用切線的判定方法，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）證明△PAB∽△PCA，可得

AB

AC

=

PB

PA

=

5

10

=

1

2

，求出AC，BC，即可求S△_ACB的值．

解答： （Ⅰ）證明：連結(jié)OA，
∵⊙O的直徑為15，∴OA=OB=7.5
又PA=10，PB=5，∴PO=12.5…（2分）
在△APO中，PO²=156.25，PA²+OA²=156.25
即PO²=PA²+OA²，∴PA⊥OA，
又點(diǎn)A在⊙O上
故PA與⊙O相切…（5分）
（Ⅱ）解：∵PA為⊙O的切線，∴∠ACB=∠PAB，
又由∠P=∠P，∴△PAB∽△PCA，∴

AB

AC

=

PB

PA

=

5

10

=

1

2

…（7分）
設(shè)AB=k，AC=2k，∵BC為⊙O的直徑且BC=15，AB⊥AC
∴BC=

k2+(2k)2

=

5

k=15，
∴k=3

5

∴S△ACB=

1

2

AC•AB=

1

2

•2k•k=k2=45…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定與性質(zhì)．解答這類題目，常見(jiàn)的輔助線有：
①判定切線時(shí)“連圓心和直線與圓的公共點(diǎn)”或“過(guò)圓心作這條直線的垂線”；
②有切線時(shí)，常�！坝龅角悬c(diǎn)連圓心得半徑”．