已知函數(shù)．

（1）若在上恒成立，求m取值范圍；

（2）證明：2 ln2 + 3 ln3+…+ n lnn（）．

 

【答案】

解：令在上恒成立

           4分

(1) 當時，即時

   在恒成立．在其上遞減．

原式成立．

當即0<m<1時

 

不能恒成立．

綜上： 9分

(2) 由 (1) 取m=1有l(wèi)nx

令x=n

化簡證得原不等式成立．    12分

 

【解析】本試題主要是考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。利用導數(shù)證明不等式的恒成立問題，以及研究函數(shù)的最值的綜合運用。

（1）因為若在上恒成立，求m取值范圍；那么關鍵是求解函數(shù)的最小值恒大于等于零即可。

（2）由 (1) 取m=1有l(wèi)nx，利用放縮法得到，然后求和證明結論。

解：令在上恒成立

           4分

(1) 當時，即時

   在恒成立．在其上遞減．

原式成立．

當即0<m<1時

 

不能恒成立．

綜上： 9分

(2) 由 (1) 取m=1有l(wèi)nx

令x=n

化簡證得原不等式成立．    12分

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分12分）已知函數(shù)．

（1）若，試確定函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若，且對于任意，恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；（3）設函數(shù)，求證：．

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆寧夏高二上學期期末考試文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

（本題滿分12分）已知函數(shù)，

（1）若，求的單調區(qū)間；

（2）當時，求證：．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年湖南省岳陽市高三第一次質量檢測理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分13分）已知函數(shù)．

（1）若為的極值點，求實數(shù)的值；

（2）若在上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當時，方程有實根，求實數(shù)的最大值．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年湖北省華中師大一附中高三上學期期中檢測文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)。

（1）若，求函數(shù)的值；

（2）求函數(shù)的值域。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：吉林省10-11學年高二下學期期末考試數(shù)學（理） 題型：解答題

已知函數(shù)．

（1）若從集合中任取一個元素，從集合中任取一個元素，求方程有兩個不相等實根的概率；

（2）若是從區(qū)間中任取的一個數(shù)，是從區(qū)間中任取的一個數(shù)，求方程沒有實根的概率．

 

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