Question

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點為F₁（-1，0），且點P（0，1）在C₁上．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設直線l過點（0，

2

）且與橢圓C₁相切，求直線l的方程．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由條件可得，c=1，b=1，再由a，b，c的關系，求得a，進而得到橢圓方程；
（2）設出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，消去y，得到x的方程，運用判別式為0，解方程，即可得到k，進而得到直線方程．

解答： 解：（1）由已知，左焦點為F₁（-1，0），則c=1，
又已知點P（0，1）在橢圓上，顯然為上頂點，則b=1，
又a²=b²+c²=2，
則所求橢圓C₁的標準方程為：

x2

2

+y²=1；
（2）由題意，顯然設直線l必存在斜率，
又直線過點（0，

2

），
∴設所求直線l的方程為：y-

2

=k（x-0），
再簡化為：y=kx+

2

，聯(lián)立橢圓方程

x2

2

+y²=1，
消去y，（1+2k²）x²+4

2

kx+2=0，
要使直線l與此橢圓相切，只需：
△=（4

2

k）²-4×2（2k²+1）=0，
解得：k²=

1

2

，即k=±

2

2

，
則所求直線方程為：y=±

2

2

x+

2

，
即：x-

2

y+2=0或x+

2

y-2=0．

點評：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線和橢圓相切的條件，聯(lián)立直線和橢圓方程得到二次方程，運用判別式為0，考查運算能力，屬于中檔題．