Question

4．已知x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}y≥2x\\ x+y≤3\\ x≥a\end{array}$且z=2x+y的最大值是其最小值的2倍，則a=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，求出最優(yōu)解，建立方程關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直線y=-2x+z，
由圖象可知當(dāng)直線y=-2x+z經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，直線的截距最小，
此時(shí)z最小，
當(dāng)直線y=-2x+z經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線的截距最大，
此時(shí)z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=2x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=2a}\end{array}\right.$，即C（a，2a），此時(shí)z_min=2a+2a=4a，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{x+y=3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即B（1，2），此時(shí)z_max=2+2=4，
∵z=2x+y的最大值是其最小值的2倍，
∴2×4a=4，即a=$\frac{1}{2}$
故答案為：$\frac{1}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法．