Question

已知函數(shù) 

（1）討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)；

（2）若函數(shù)在=1處取得極值，對任意的∈（0，+∞），≥恒成立，求實數(shù)b的取值范圍；

（3）當＞＞時，求證：

Answer 1

解：（Ⅰ），

①當a≤0時，f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，

函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，

∴f（x）在（0，+∞）上沒有極值點；

②當a＞0時，f'（x）＜0得，f'（x）＞0得，

∴f（x）在上遞減，在上遞增，

即f（x）在處有極小值．

∴當a≤0時f（x）在（0，+∞）上沒有極值點，

當a＞0時，f（x）在（0，+∞）上有一個極值點．

（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，∴a=1，∴，…（6分）

令，可得g（x）在（0，e²]上遞減，在[e²，+∞）上遞增，

∴，即．

（Ⅲ）證明：，

令，

則只要證明g（x）在（e﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，

又∵，

顯然函數(shù)在（e﹣1，+∞）上單調(diào)遞增．

∴，即g'（x）＞0，

∴g（x）在（e﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，

即，

∴當x＞y＞e﹣1時，有．