Question

8．已知函數(shù)f（x）=mx+$\frac{1}{x}$且f（1）=2．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性
（2）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的增減性，并證明．

Answer 1

分析 （1）可以得到f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}，并可求得f（-x）=-f（x），從而得出f（x）為奇函數(shù)；
（2）由f（1）=2便可求出m=1，從而寫出f（x）=x+$\frac{1}{x}$，可看出該函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)遞增，根據(jù)增函數(shù)的定義，設(shè)任意的x₁＞x₂＞1，然后作差，通分，提取公因式，證明f（x₁）＞f（x₂）便可得出f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．

解答 解：（1）f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}；
f（-x）=-mx-$\frac{1}{x}$=-f（x）；
∴f（x）為奇函數(shù)；
（2）f（1）=m+1=2；
∴m=1；
∴f（x）=x+$\frac{1}{x}$，x＞1時(shí)，$0＜\frac{1}{x}＜1$，∴x增加速度大于$\frac{1}{x}$的減小速度，∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，證明如下：
設(shè)x₁＞x₂＞1，則：$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}-{x}_{2}-\frac{1}{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x₁＞x₂＞1；
∴x₁-x₂＞0，$1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)的定義，判斷一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)的方法和過(guò)程，以及根據(jù)增函數(shù)的定義判斷并證明一個(gè)函數(shù)為增函數(shù)的方法和過(guò)程，作差的方法比較f（x₁）與f（x₂），作差后是分式的一般要通分，一般要提取公因式x₁-x₂．