Question

設(shè)正數(shù)數(shù)列{a_n} 的前n項(xiàng)和為 S_n，且對(duì)任意的n∈N^*，S_n是a_n²和a_n的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n} 的通項(xiàng)公式；
（2）在集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k≤1500中，是否存在正整數(shù)m，使得不等式S_n-1005＞

an2

2

對(duì)一切滿足n＞m的正整數(shù)n都成立？若存在，則這樣的正整數(shù)m共有多少個(gè)？并求出滿足條件的最小正整數(shù)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)S_n是a_n²和a_n的等差中項(xiàng)，可得2S_n=a_n²+a_n，且a_n＞0，再寫一式，當(dāng)n≥2時(shí)，有2S_n-1=a_n-1²+a_n-1，兩式相減，化簡(jiǎn)可得a_n-a_n-1=1（n≥2），所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故求數(shù)列{a_n} 的通項(xiàng)公式；
（2）利用S_n-1005＞

an2

2

，求得n＞2010，從而M={2010，2012，…，2998}，這些數(shù)組成首項(xiàng)為2010，公差為2的等差數(shù)列，由此可得集合M中滿足條件的正整數(shù)m的個(gè)數(shù)．

解答：解：（1）由已知，∵S_n是a_n²和a_n的等差中項(xiàng)，∴2S_n=a_n²+a_n，且a_n＞0．
當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=a₁²+a₁，解得a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，有2S_n-1=a_n-1²+a_n-1．
于是2S_n-2S_n-1=a_n²-a_n-1²+a_n-a_n-1，即2a_n=a_n²-a_n-1²+a_n-a_n-1，
∴a_n²-a_n-1²=a_n+a_n-1，即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=a_n+a_n-1．
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=1（n≥2）．
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴a_n=n．
（2）∵a_n=n，∴S_n-1005＞

an2

2

，得

n(n+1)

2

-1005＞

n2

2

，∴

n

2

＞1005，∴n＞2010．
由題設(shè)，M={2010，2012，…，2998}，
因?yàn)閙∈M，所以m=2010，2012，…，2998均滿足條件，且這些數(shù)組成首項(xiàng)為2010，公差為2的等差數(shù)列．
設(shè)這個(gè)等差數(shù)列共有k項(xiàng)，則2010+2（k-1）=2998，
解得k=495．
故集合M中滿足條件的正整數(shù)m共有495個(gè)，滿足條件的最小正整數(shù)m的值為2010．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，特別是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．