Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形為正方形，四邊形為等腰梯形，，，，.

（1）求證：平面；

（2）求四面體的體積；

（3）線段上是否存在點(diǎn)，使平面？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

 

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）；（3）詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）利用勾股定理得到，再結(jié)合并利用直線與平面垂直的判定定理證明平面；（2）先證明平面，從而得到為三棱錐的高，并計(jì)算的面積作為三棱錐的底面積。最后利用錐體的體積公式計(jì)算四面體的體積；（3）連接交于點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到為的中點(diǎn)，然后取的中點(diǎn)，構(gòu)造底邊的中位線，得到，結(jié)合直線與平面平行的判定定理得到平面.

試題解析：（1）在中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719053512022053/SYS201411171905456362363263_DA/SYS201411171905456362363263_DA.026.png">，，，，

，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719053512022053/SYS201411171905456362363263_DA/SYS201411171905456362363263_DA.031.png">，且，平面，平面，平面；

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719053512022053/SYS201411171905456362363263_DA/SYS201411171905456362363263_DA.039.png">平面，且平面，，

又，且，平面，平面，

平面，即為三棱錐的高，

在等腰梯形中可得，所以，

的面積為，

所以四面體的體積為；

（3）線段上存在點(diǎn)，且為的中點(diǎn)時(shí)，有平面，

證明如下：連接，與交于點(diǎn)，連接，

四邊形為正方形，所以為的中點(diǎn)，

又為的中點(diǎn)，，

平面，平面，平面，

因此線段上存在點(diǎn)，使得平面成立.

考點(diǎn)：1.直線與平面垂直的判定；2.錐體的體積的計(jì)算；3.直線與平面平行的判定