Question

（理科）函數(shù)y=x+

a

x

(a是常數(shù)，且a＞0)有如下性質(zhì)：①函數(shù)是奇函數(shù)；②函數(shù)在(0，

a

]上是減函數(shù)，在[

a

，+∞)上是增函數(shù)．
（1）如果函數(shù)y=x+

2b

x

（x＞0）的值域是[6，+∞），求b的值；
（2）判斷函數(shù)y=x2+

c

x2

（常數(shù)c＞0）在定義域內(nèi)的奇偶性和單調(diào)性，并加以證明；
（3）對函數(shù)y=x+

a

x

和y=x2+

c

x2

（常數(shù)c＞0）分別作出推廣，使它們是你推廣的函數(shù)的特例．判斷推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只需寫出結(jié)論，不要證明）．

Answer 1

（1）∵2^b＞0，x＞0，∴

2b

x

＞0，∴y=x+

2b

x

≥2

x• 2b x

=2

2b

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

2b

x

，x²=2^b時等號成立．
又∵函數(shù)的值域是[6，+∞），即y≥6，∴2

2b

=6，解得，b=long₂9．
（2）設(shè)f(x)=x2+

c

x2

，因?yàn)閤∈(-∞，0)∪(0，+∞)，
f(-x)=(-x)2+

c

(-x)2

=x2+

c

x2

=f(x)，
∴函數(shù)f(x)=x2+

c

x2

為偶函數(shù)．
設(shè)0＜x1＜x2，f(x2)-f(x1)=

x

22

+

c

x 22

-

x

21

-

c

x 21

=(

x

22

-

x

21

)(1-

c

x 21 x 22

)=(

x

1

-

x

2

)(x1+x2)

(x12x22-c )

x 21 x 22

．
當(dāng)

4	c

≤x1＜x2時，f(x2)＞f(x1)，
∴函數(shù)f(x)=x2+

c

x2

在[

4	c

，+∞)上是增函數(shù)；
當(dāng)0＜x1＜x2≤

4	c

，f(x2)＜f(x1)，f（x）在（0，

4	c

]為減函數(shù)，
設(shè)x1＜x2≤-

4	c

，，則-x1＞-x2≥

4	c

，因f(x)=x2+

c

x2

是偶函數(shù)，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（-x₁）-f（-x₂）＞0，
∴函數(shù)f(x)=x2+

c

x2

在(-∞，-

4	c

]上是減函數(shù)，
同理可證，函數(shù)f(x)=x2+

c

x2

在[-

4	c

，0)上是增函數(shù)．
（3）可以推廣為研究函數(shù)y=xn+

a

xn

(常數(shù)a＞0，n是正整數(shù))的單調(diào)性．
當(dāng)n是奇數(shù)時，函數(shù)y=xn+

a

xn

在[

2n	a

，+∞)和(-∞，-

2n	a

]上是增函數(shù)，
在(0，

2n	a

]和[-

2n	a

，0)上是減函數(shù)；
當(dāng)n是偶數(shù)時，函數(shù)y=xn+

a

xn

在[

2n	a

，+∞)和[-

2n	a

，0)上是增函數(shù)，
在(0，

2n	a

]和[-∞，-

2n	a

)上是減函數(shù)；