Question

某校為宣傳縣教育局提出的“教育發(fā)展，我的責(zé)任”教育實(shí)踐活動(dòng)，要舉行一次以“我為教育發(fā)展做什么”為主題的演講比賽，比賽分為初賽、復(fù)賽、決賽三個(gè)階段進(jìn)行，已知某選手通過初賽、復(fù)賽、決賽的概率分別是

2

3

，

1

3

，

1

4

，且各階段通過與否相互獨(dú)立．
（Ⅰ）求該選手在復(fù)賽階段被淘汰的概率；
（Ⅱ）設(shè)該選手在比賽中比賽的次數(shù)為ξ，求ξ的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）記“該選手通過初賽”為事件A，“該選手通過復(fù)賽”為事件B，“該選手通過決賽”為事件C，則P(A)=

2

3

，P(B)=

1

3

，P(C)=

1

4

．由此能求出該選手在復(fù)賽階段被淘汰的概率．
（Ⅱ）ξ可能取值為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差．

解答： 解：（Ⅰ）記“該選手通過初賽”為事件A，
“該選手通過復(fù)賽”為事件B，
“該選手通過決賽”為事件C，
則P(A)=

2

3

，P(B)=

1

3

，P(C)=

1

4

．
那么該選手在復(fù)賽階段被淘汰的概率是：
p=p(A

.

B

)=P(A)P(

.

B

)=

2

3

×(1-

1

3

)=

4

9

．…（4分）
（Ⅱ）ξ可能取值為1，2，3．…（5分）P(ξ=1)=P(

.

A

)=1-

2

3

=

1

3

，P(ξ=2)=P(A

.

B

)=P(A)P(

.

B

)=

2

3

×(1-

1

3

)=

4

9

，P(ξ=3)=P(AB)=P(A)P(B)=

2

3

×

1

3

=

2

9

．…（8分）
ξ的分布列為

ξ	1	2	3
P	1 3	4 9	2 9

Eξ=1×

1

3

+2×

4

9

+3×

2

9

=

17

9

．…（10分）Dξ=(1-

17

9

)2×

1

3

+(2-

17

9

)2×

4

9

+(3-

17

9

)2×

2

9

=

44

81

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題．