Question

已知{a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，{b_n}等比數(shù)列，滿足b₁=a₁²，b₂=a₂²，b₃=a₃²．
（I）求數(shù)列{b_n}公比q的值；
（II）若a₂=-1且a₁＜a₂，求數(shù)列{a_n}公差的值．

Answer 1

分析：（I）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意可得，b₂²=b₁b₃，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得  （a₁+d）⁴=a₁²（a₁+2d）²，解方程可得，d=(-2±

2

)a1，分別代入等比數(shù)列的通項(xiàng)可求公比
（II）（法一）a₁＜a₂＜0  可得，a₁²＞a₂² 則0＜q＜1，從而可求公比q=3-2

2

結(jié)合已知b₂=a₂²=1可得b₁q=1，可求b₁，a₁，進(jìn)一步可求公差d
（法二）同法一可得公比q，則有

d=(-2+ 2 )a1 a1+d=-1

解方程可得 d

解答：解：（I）：設(shè)等差數(shù)列的公差為d
∵b₂²=b₁b₃∴（a₁+d）⁴=a₁²（a₁+2d）²
∴（a₁+d）²=a₁（a₁+2d） 或（a₁+2d）²=-a₁（a₁+2d）
∴d=0（舍去）或 d²+4a₁d+2a₁²=0
∴d=(-2±

2

)a1
（1）當(dāng)d=(-2-

2

)a1時(shí)，q=

a22

a12

=

(a1+d)2

a12

=(1+

2

)2=3+2

2

（2）當(dāng)d=(-2+

2

)a1時(shí)，q=

a22

a12

=

(a1+d) 2

a12

=(1-

2

)2=3-2

2

綜上q=3+2

2

或q=3-2

2

（II）（法一）∵a₁＜a₂＜0∴a₁²＞a₂²，0＜q＜1∴q=3-2

2

∵b₂=a₂²=1即b₁q=1
∴b1=

1

q

=

1

3-2 2

=3+2

2

∴

a

2 1

=3+2

2

∴a1=-1-

2

，∴d=a2-a1=

2

（法二）a₁＜a₂＜0，∴a₁²＞a₂²，0＜q＜1∴q=3-2

2

∴

d=(-2+ 2 )a1 a1+d=-1

得

a1=-1- 2 d= 2

點(diǎn)評(píng)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合運(yùn)算的考查是近幾年高考在數(shù)列部分的考查重點(diǎn)與熱點(diǎn)，對(duì)考生的基本要求是數(shù)列掌握基本定義、基本公式，具備一定的推理運(yùn)算的能力．