Question

已知橢圓的離心率為e=，且過點（）
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+m（k≠0，m＞0）與橢圓交于P，Q兩點，且以PQ為對角線的菱形的一頂點為（-1，0），求：△OPQ面積的最大值及此時直線l的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵e=，∴c=a，∴b²=a²-c²=，故所求橢圓為：．
又橢圓過點 （），∴，∴a²=4，b²=1，
∴．
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中點為（x₀，y₀）
將直線y=kx+m與 聯(lián)立得 （1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∵△=16（4k²+1-m² ）＞0，即 4k²+1-m²＞0 ①，
又x₀==，y₀==，又點[-1，0]不在橢圓OE上．
依題意有 =，整理得3km=4k²+1 ②． 由①②可得k²＞，
∵m＞0，∴k＞0，∴k＞，
設(shè)O到直線l的距離為d，
則S_△OPQ==
==．
當(dāng) = 時，△OPQ 的面積取最大值1，此時k=，m=，
∴直線方程為 y=x+．
分析：（Ⅰ）根據(jù)e=，可得b²=，故所求橢圓為，把點（）代入橢圓的方程可得a²=4，從而得到橢圓的方程．
（Ⅱ）將直線y=kx+m與 聯(lián)立，得到 4k²+1-m²＞0 ①，由中點公式及=，得到整理得3km=4k²+1 ②，由①②可得k²＞，又 S_△OPQ為，故當(dāng)= 時，△OPQ 的面積取最大值1，此時k=，m=，從而得到l的方程．
點評：本題考查求橢圓的標準方程的方法，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，求出k值，是解題的難點和關(guān)鍵．