Question

已知下列4個(gè)命題：
①若f（x）在R上為減函數(shù)，則-f（x）在R上為增函數(shù)；
②若f（x）=，那么它的單調(diào)遞增區(qū)間為[1，+∞）；
③若函數(shù)在R上是增函數(shù)，則a的取值范圍是1＜a＜8；
④函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間[-a，a]（a＞0）上都是奇函數(shù)，則f（x）•g（x）在區(qū)間[-a，a]（a＞0）是偶函數(shù)；
其中正確命題的序號(hào)是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)算法則，得①是真命題；根據(jù)函數(shù)的定義域的求法和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，得②不正確；根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性判別法則，得③不正確；根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和運(yùn)算法則，可得④是真命題．由此不難得到本題答案．
解答：解：對(duì)于①，因?yàn)閒（x）與-f（x）在同一單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性相反，
故由f（x）在R上為減函數(shù)，可得-f（x）在R上為增函數(shù)，可得①是真命題；
對(duì)于②，由于函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x²-2x-3≥0}={x|x≥3或x≤-1}，
結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，得f（x）=的單調(diào)遞增區(qū)間為[3，+∞），得②不正確；
對(duì)于③，函數(shù)在R上是增函數(shù)，得
解之得a∈∅，故1＜a＜8是假命題，得③不正確；
對(duì)于④，因?yàn)閒（x）、g（x）在區(qū)間[-a，a]（a＞0）上都是奇函數(shù)，
所以f（-x）=-f（x），g（-x）=-g（x），x∈[-a，a]（a＞0）
設(shè)F（x）=f（x）•g（x），得F（-x）=f（-x）g（-x）=[-f（x）][-g（x）]=f（x）•g（x），
∴F（-x）=F（x），得f（x）•g（x）在區(qū)間[-a，a]（a＞0）是偶函數(shù)，得④正確．
故答案為：①④
點(diǎn)評(píng)：本題給出關(guān)于函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的幾個(gè)命題，叫我們判斷它們的真假，著重考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，及其運(yùn)算法則等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．