Question

（2013•浙江二模）某競猜活動有4人參加，設(shè)計者給每位參與者1道填空題和3道選擇題，答對一道填空題得2分，答對一道選擇題得1分，答錯得0分，若得分總數(shù)大于或等于4分可獲得紀(jì)念品，假定參與者答對每道填空題的概率為

1

2

，答對每道選擇題的概率為

1

3

，且每位參與者答題互不影響．
（Ⅰ）求某位參與競猜活動者得3分的概率；
（Ⅱ）設(shè)參與者獲得紀(jì)念品的人數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）確定某位參與競猜活動者得3分，包括答對一道填空題且只答對一道選擇題、答錯填空題且答對三道選擇題，求出相應(yīng)的概率，即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）確定隨機變量ξ的取值，求出相應(yīng)的概率，可得分布列與期望．

解答：解：（Ⅰ）答對一道填空題且只答對一道選擇題的概率為

1

2

×

C

2 3

×(

2

3

)2×

1

3

=

2

9

，
答錯填空題且答對三道選擇題的概率為

1

2

×(

1

3

)3=

1

54

（對一個4分）
∴某位參與競猜活動者得3分的概率為

2

9

+

1

54

=

13

54

；         …（7分）
（Ⅱ）由題意知隨機變量ξ的取值有0，1，2，3，4．
又某位參與競猜活動者得4分的概率為

1

2

×

C

2 3

×(

1

3

)2×

2

3

=

1

9

某位參與競猜活動者得5分的概率為

1

2

×(

1

3

)3=

1

54

∴參與者獲得紀(jì)念品的概率為

7

54

…（11分）
∴ξ～B(4，

7

54

)，分布列為P(ξ=k)=

C

k 4

(

7

54

)k(

47

54

)4-k，k=0，1，2，3，4
即

ξ	0	1	2	3	4
P	C 0 4 ( 7 54 )0( 47 54 )4	C 1 4 ( 7 54 )1( 47 54 )3	C 2 4 ( 7 54 )2( 47 54 )2	C 3 4 ( 7 54 )3( 47 54 )1	C 4 4 ( 7 54 )4( 47 54 )0

∴隨機變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=4×

7

54

=

14

27

．…（14分）

點評：本題考查概率的計算，考查離散型隨機變量的分布列與期望，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．