半圓的直徑AB=4，O為圓心，C是半圓上不同于A，B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，則(
PA
+
PB
)•
PC
的最小值是
-2
-2
．
分析：由題意可得
PA
+
PB
=2
PO
，要求的式子即 2
PO
•
PC
=-2|
PO
|•|
PC
|．再根據(jù)|
PO
|+|
PC
|=|
OC
|=2為定值，利用基本不等式求得-2|
PO
|•|
PC
|的最小值．
解答：解：因?yàn)镺為AB的中點(diǎn)，所以
PA
+
PB
=2
PO
，
從而 (
PA
+
PB
)•
PC
=2
PO
•
PC
=-2|
PO
|•|
PC
|．
又|
PO
|+|
PC
|=|
OC
|=2為定值，再根據(jù)|
PO
|•|
PC
|≤(
|
PO
|+|
PC
|
2
)2=1，
可得-2|
PO
|•|
PC
|≥-2，
所以當(dāng)且僅當(dāng)|
PO
|=|
PC
|=1時(shí)，即P為OC的中點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，
(
PA
+
PB
)•
PC
 取得最小值是-2，
故答案為-2．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量在幾何中的應(yīng)用，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

半圓的直徑AB=4，O為圓心，C是半圓上不同于A、B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC的中點(diǎn)，則(
PA
+
PB
)•
PC
的值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，半圓的直徑AB=4，O為圓心，C為半圓上不同于A、B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，則(
PA
+
PB
)•
PC
的最小值是（　　）
A、2B、0C、-1D、-2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

半圓的直徑AB=4，O為圓心，C是半圓上不同于A、B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC的中點(diǎn)，則(
PA
+
PB
)•
PC
的值是（　　）
A、、-2
B、、-1
C、、2
D、、無法確定，與C點(diǎn)位置有關(guān)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，半圓的直徑AB=4，O為圓心，C是半圓上與A、B不同的任意一點(diǎn)，P是半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，則(
PA
+
PB
)•
PC
的最小值是
-2
-2
．

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