Question

設(shè)函數(shù)
（1）寫出定義域及f′（x）的解析式
（2）設(shè)a＞0，討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；
（3）若對(duì)任意x∈（0，1），恒有f（x）＞1成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)分式函數(shù)的分母不等于0可求出函數(shù)的定義域，然后根據(jù)分式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則可求出f′（x）的解析式；
（2）討論a與2的大小，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)可得函數(shù)的單調(diào)性；
（3）討論a與0和2的大小，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，然后判定是否滿足對(duì)任意x∈（0，1），恒有f（x）＞1成立，從而求出a的取值范圍．
解答：解：（1）∵x-1≠0∴f（x）的定義域?yàn)椋?∞，1）∪（1，+∞），
（3分）
（2）①當(dāng)0＜a≤2時(shí)，f'（x）≥0，所以f（x）在（-∞，1），（1，+∞）上為增函數(shù)（4分）
②當(dāng)a＞2，由f′（x）＞0得或
∴上為增函數(shù)，在上是減函數(shù)（7分）
（2）①當(dāng)0＜a≤2時(shí)，由（1）知，對(duì)任意x∈（0，1），恒有f（x）＞f（0）=1（8分）
②當(dāng)a＞2時(shí)，由（1）知，f（x）在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，
取，則f（x）＜f（0）=1（10分）
③當(dāng)a≤0時(shí)，對(duì)任意x∈（0，1），恒有且e^-ax≥1，得（11分）
綜上當(dāng)且僅當(dāng)a∈（-∞，2]時(shí)，若對(duì)任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1成立．     （12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的定義域及其導(dǎo)函數(shù)的求法，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想和計(jì)算能力，屬于中檔題．