Question

已知函數(shù)f（x）=4^x+a•2^x+1+4
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若關于x的方程f（x）=0有兩個大于0的實根，求a的取值范圍；
（3）當x∈[1，2]時，求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）設t=2^x＞0，則y=g（t）=t²+2at+4，轉化為求函數(shù)g（t）（t＞0）的值域即可；
（2）由x＞0得t＞1，方程f（x）=0有兩個大于0的實根?方程g（t）=t²+2at+4=0有兩個大于1的實根，求出即可；
（3）由x∈[1，2]得t∈[2，4]，而g（t）=（t+a）²+4-a²，因此需要對-a與2、4的大小關系進行分類討論即可．

解答：解：（1）設t=2^x＞0，則y=g（t）=t²+2at+4，
當a=1時，y=t²+2t+4=（t+1）²+3，對稱軸為t=-1，開口向上．
∴g（t）在（0，+∞）上單調遞增，∴g（t）＞g（0）=4．
∴函數(shù)f（x）值域為（4，+∞）．
（2）由x＞0得t＞1．
∴方程f（x）=0有兩個大于0的實根等價于方程g（t）=t²+2at+4=0有兩個大于1的實根，
則需  

△=4a2-16≥0 - 2a 2 ＞1 g(1)=5+2a＞0

解得

a≥2或a≤-2 a＜-1 a＞- 5 2

，
∴-

5

2

＜a≤-2．
（3）由x∈[1，2]得t∈[2，4]，g（t）=（t+a）²+4-a²．
①當-a≥4，即a≤-4時，g（t）在[2，4]上單調遞減，
∴g（t）_min=g（4）=20+8a；
②當2＜-a＜4，-4＜a＜-2時，g(t)min=g(-a)=4-a2；
③當-a≤2即a≥-2時，g（t）在[2，4]上單調遞增，
∴g（t）_min=g（2）=8+4a．

點評：利用換元法和對所給的區(qū)間與二次函數(shù)的頂點的橫坐標的關系分類討論其單調性是解決問題的關鍵．