Question

在正棱錐P-ABC中，三條側(cè)棱兩兩互相垂直，G是△PAB的重心，E，F(xiàn)分別為BC，PB上的點，且BE：EC=PF：FB=1：2．
（1）求證：平面GEF⊥平面PBC；
（2）求證：EG是PG與BC的公垂線段．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)PA、PB、PC兩兩垂直，則PA⊥平面PBC，而根據(jù)重心的性質(zhì)可知GF∥PA，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得GF⊥平面PBC，進而由面面垂直的判定定理得到平面GEF⊥平面PBC；
（2）取EC的中點H，連接FH，利用平行線分線段成比例定理可得FH∥PC，進而可得FB=FH，進而由等腰三角形三線合一，可得EF⊥BC，結(jié)合（1）的結(jié)論及線面垂直的判定及性質(zhì)定理，可得PG⊥GN，取FB的中點N，利用平行線分線段成比例定理可得GN∥BD，由等腰三角形PAB中，BD⊥PD，可得PG⊥GN，再平行線分線段成比例定理可得NE∥PC，進而根據(jù)已知判斷出PC⊥平面PAB，進而PC⊥PG，NE⊥PG，結(jié)合線面垂直的判定及性質(zhì)得到PG⊥EG，綜合后可得EG是PG與BC的公垂線段

解答：證明：（1）在△PAB中，∵G是△PAB的重心，
∴MG=

1

3

MB，
∵PF：FB=1：2，即PF=

1

3

PB，
∴GF∥PM
又PA、PB、PC兩兩垂直，
∴PA⊥平面PBC，又∵GF∥PA
∴GF⊥平面PBC
又∵GF?平面GEF
∴平面GEF⊥平面PBC；
（2）取EC的中點Q，連接FQ，
∵BE：EC=PF：FB=1：2
∴BQ：QC=2：1
∴FQ∥PC
∴FB=FQ
∴EF⊥BC
又∵GF⊥平面PBC
∴GF⊥BC
由GF∩EF=F
∴BC⊥平面GEF
∴EG⊥BC
取FB的中點N，則PG：GD=PN：NB=2：1
即GN∥BD
在等腰三角形PAB中，BD⊥PD
∴PG⊥GN
又∵PN：NB=CE：EB=2：1
∴NE∥PC
由又PA、PB、PC兩兩垂直，
∴PC⊥平面PAB，
又∵PG?平面PAB
∴PC⊥PG
∴NE⊥PG
又NE∩GN=N
∴PG⊥平面GNE
∴PG⊥EG
即EG是PG與BC的公垂線段

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及直線與平面平行的判定，同時考查了推理論證的能力，屬于中檔題．