Question

設(shè)短軸長(zhǎng)為是的橢圓C：和雙曲線的離心率互為的倒數(shù)，過定圓E上面的每一個(gè)點(diǎn)都可以作兩條互相垂直的直線l₁，l₂，且l₁，l₂與橢圓的公共點(diǎn)都只有一個(gè)的圓的方程為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù)可得橢圓的方程為，設(shè)出直線方程聯(lián)立橢圓方程得到一元二次方程，由△=0可得關(guān)于k的方程，再結(jié)合直線l₁，l₂互相垂直且兩條直線與與橢圓的交點(diǎn)只有一個(gè)得到xy的關(guān)系即得到圓的方程，最后檢驗(yàn)斜率不存在時(shí)也符合題意即可．
解答：解：雙曲線的離心率為，于是橢圓C：的離心率為．
即，又由題意，以及b²+c²=a²，解得，
橢圓C的方程為．
設(shè)P（x，y）是⊙E上的任意一點(diǎn)，過P的直線l：y=k（x-x）+y，
代入中，得，
即（1+2k²）x²+4k（y-kx）x+2（y-kx）²-6=0，①
若直線l與橢圓的公共點(diǎn)只有一個(gè)，則①中判別式△=0，
即16k²（y-kx）²-8（1+2k²）[（y-kx）²-3]=0，
整理得關(guān)于k的方程：（6-x²）k²+2xyk-y²+3=0，②
要使得⊙E上面的每一個(gè)點(diǎn)都可以作兩條互相垂直的直線l₁，l₂，
且l₁，l₂與橢圓的公共點(diǎn)都只有一個(gè)，方程必須有兩根且兩根之積為-1，故，即x²+y²=9，
又對(duì)于點(diǎn)，，，，直線l₁，l₂中有一條斜率不存在，
另一條斜率為0，顯然成立．故這樣的⊙E，方程為：x²+y²=9．
故答案為x²+y²=9．
點(diǎn)評(píng)：截距處理問題的關(guān)鍵是進(jìn)行準(zhǔn)確的運(yùn)算，抓住題目的關(guān)鍵如垂直關(guān)系、只有一個(gè)交點(diǎn)，直線與 圓錐曲線的綜合性問題，多為把關(guān)題，是學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)也是高考的重點(diǎn)．