Question

1．如圖，已知點E為平行四邊形ABCD的邊AB上一點，$\overrightarrow{AE}$=2$\overrightarrow{EB}$，F(xiàn)_n（n∈N^*）為邊DC上的一列點，連接AF_n交BD于G_n，點G_n（n∈N^*）滿足$\overrightarrow{{G_n}D}$=$\frac{1}{3}$a_n+1$\overrightarrow{{G_n}A}$-（3a_n+2）$\overrightarrow{{G_n}E}$，其中數(shù)列{a_n}是首項為1的正項數(shù)列，則a₄的值為（　　）

• A． 45
• B． 51
• C． 53
• D． 61

Answer 1

分析 運用向量共線，轉(zhuǎn)化為以點G_n為起點的向量，由D，G_n，B共線，設$\overrightarrow{{G}_{n}D}$=λ$\overrightarrow{{G}_{n}B}$，化簡整理，運用m$\overrightarrow{a}$+n$\overrightarrow$=$\overrightarrow{0}$，其中$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$不共線，則m=n=0，得到a_n與a_n+1的關系，計算即可得到所求值．

解答 解：由$\overrightarrow{AE}$=2$\overrightarrow{EB}$，
可得$\overrightarrow{{G}_{n}E}$-$\overrightarrow{{G}_{n}A}$=2（$\overrightarrow{{G}_{n}B}$-$\overrightarrow{{G}_{n}E}$），
即為$\overrightarrow{{G}_{n}E}$=$\frac{\overrightarrow{{G}_{n}A}+2\overrightarrow{{G}_{n}B}}{3}$，
由$\overrightarrow{{G_n}D}$=$\frac{1}{3}$a_n+1$\overrightarrow{{G_n}A}$-（3a_n+2）$\overrightarrow{{G_n}E}$，
可得$\overrightarrow{{G_n}D}$=$\frac{1}{3}$a_n+1$\overrightarrow{{G_n}A}$-（3a_n+2）$\frac{\overrightarrow{{G}_{n}A}+2\overrightarrow{{G}_{n}B}}{3}$
=（$\frac{1}{3}$a_n+1-a_n-$\frac{2}{3}$）$\overrightarrow{{G_n}A}$-$\frac{2}{3}$（3a_n+2）$\overrightarrow{{G}_{n}B}$，
由D，G_n，B共線，設$\overrightarrow{{G}_{n}D}$=λ$\overrightarrow{{G}_{n}B}$，
則（$\frac{1}{3}$a_n+1-a_n-$\frac{2}{3}$）$\overrightarrow{{G_n}A}$-（2a_n+$\frac{4}{3}$+λ）$\overrightarrow{{G}_{n}B}$=$\overrightarrow{0}$，
由于$\overrightarrow{{G_n}A}$，$\overrightarrow{{G}_{n}B}$不共線，
可得$\frac{1}{3}$a_n+1-a_n-$\frac{2}{3}$=0，2a_n+$\frac{4}{3}$+λ=0，
由數(shù)列{a_n}是首項為1的正項數(shù)列，
可得a₂=3a₁+2=5，
a₃=3a₂+2=17，
a₄=3a₃+2=53．
故選：C．

點評 本題考查數(shù)列與向量的綜合應用，注意運用向量共線定理和兩不共線向量之和為零向量，則它們的系數(shù)為0，考查運算能力，屬于中檔題．