Question

10．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n，n∈N^*．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）令b_n=（2-n）（a_n-1）（n∈N^*），若對于?n∈N^*，都有b_n≤$\frac{1}{4}$sinx，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義進(jìn)行構(gòu)造即可證明數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）先求出數(shù)列{a_n}的通項公式，判斷數(shù)列{b_n}的單調(diào)性和最值將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答 證明：（Ⅰ）∵a₁+a₂+a₃+…+a_n=n-a_n，n∈N^*．
∴a₁+a₂+a₃+…+a_n+1=n+1-a_n+1，n∈N^*．
兩式相減得a_n+1=1-a_n+1+a_n，
即2a_n+1=1+a_n，
則a_n+1-1=$\frac{1}{2}$（a_n-1），
即數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列，公比q=$\frac{1}{2}$；
當(dāng)n=1時，a₁=1-a₁，解得a₁=$\frac{1}{2}$，
則首項a₁-1=$\frac{1}{2}-1$=$-\frac{1}{2}$，
即數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列成立；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n-1=$-\frac{1}{2}$$•（\frac{1}{2}）^{n-1}$=-（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
則b_n=（2-n）（a_n-1）=$\frac{n-2}{{2}^{n}}$，
則b_n+1-b_n=$\frac{n+1-2}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n-2}{{2}^{n}}$=$\frac{3-n}{{2}^{n+1}}$，
當(dāng)n＜3時，b_n+1-b_n＞0，即b₁＜b₂＜b₃，
當(dāng)n=3時，b_n+1=b_n，即b₃=b₄，
當(dāng)n＞3時，b_n+1-b_n＜0，即b₄＞b₅＞b₆…，
∴{b_n}的最大項為b₃=b₄=$\frac{1}{8}$，
若對于?n∈N^*，都有b_n≤$\frac{1}{4}$sinx，則等價為若對于?n∈N^*，都有（b_n）_max≤$\frac{1}{4}$sinx，
即$\frac{1}{8}$≤$\frac{1}{4}$sinx，
即sinx$≥\frac{1}{2}$，即2kπ≤x≤2kπ，2kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
即實數(shù)x的取值范圍是{x|2kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z}．

點評 本題主要考查等比數(shù)列的判斷以及遞推數(shù)列的應(yīng)用，考查學(xué)生的運算和推理能力．