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精英家教網如圖ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,E是PC的中點.求證:
(1)PA∥平面BDE;
(2)平面PAC⊥平面BDE.
(3)若PO=1,AB=2,則異面直線OE與AD所成角的余弦值.
分析:(1)連接AC、OE,由中位線定理得PA∥EO,再由線面平行的判定定理得PA∥面BDE;
(2)由PO⊥底面ABCD,得PO⊥BD.再證得BD⊥平面由面面垂直的判定定理證得平面PAC⊥平面BDE;
(3)由(1)知,PA∥EO,知∠PAD為異面直線OE與AD所成角.
解答:精英家教網證明:(1)連接AC、OE,AC∩BD=O,
在△PAC中,∵E為PC中點,O為AC中點.∴PA∥EO,
又∵EO?平面EBD,PA?平面EBD,∴PA∥面BDE.

(2)∵PO⊥底面ABCD,∴PO⊥BD.
又∵BD⊥AC,∴BD⊥平面PAC.
又BD?平面BDE,∴平面PAC⊥平面BDE.

(3)由(1)知,PA∥EO,
∴∠PAD為異面直線OE與AD所成角.
∵O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD
∴PD=
PO2+OD2
=
1+2
=
3
,
PA=
PO2+OA2
=
1+2
=
3

∴在△APD中,PA=PD,△APD是等腰三角形.
∴cos∠PAD=
1
2
AD
PA
=
1
3
=
3
3
點評:本題主要考查線面平行和線面垂直的判定定理,和異面直線所成的角.
練習冊系列答案
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