Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，每個側面均為邊長為2的正方形，D為底邊AB的中點，E為側棱CC₁的中點．
（Ⅰ）求證：CD∥平面A₁EB；
（Ⅱ）求證：AB₁⊥平面A₁EB；
（Ⅲ）若F為A₁B₁的中點，求過F，D，B，C點的球的體積．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,球的體積和表面積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）設AB₁∩A₁B=O，連接EO，連接OD．由已知條件推導出四邊形ECOD為平行四邊形．由此能證明CD∥平面A₁BE．
（Ⅱ）由已知條件推導出BB₁⊥平面ABC，CD⊥平面A₁ABB₁．從而得到EO⊥AB₁．由此能證明AB₁⊥平面A₁BE．
（Ⅲ）過F，D，B，C點的球的直徑是CB₁，由此能求出過F，D，B，C點的球的體積．

解答： （Ⅰ）證明：設AB₁∩A₁B=O，連接EO，連接OD．
因為O為AB₁的中點，D為AB的中點，
所以OD∥BB₁，且OD=

1

2

BB1．又E是CC₁中點，
所以EC∥BB₁，且EC=

1

2

BB₁，
所以 EC∥OD，且EC=OD．
所以，四邊形ECOD為平行四邊形．所以EO∥CD．
又CD不包含平面A₁BE，EO?平面A₁BE，
則CD∥平面A₁BE．…（4分）
（Ⅱ）證明：因為三棱柱各側面都是正方形，
所以BB₁⊥AB，BB₁⊥BC．
所以BB₁⊥平面ABC．
因為CD?平面ABC，所以BB₁⊥CD．
由已知得AB=BC=AC，所以CD⊥AB，
所以CD⊥平面A₁ABB₁．
由（Ⅰ）可知EO∥CD，所以EO⊥平面A₁ABB₁．
所以EO⊥AB₁．
因為側面是正方形，所以AB₁⊥A₁B．
又EO∩A₁B=O，EO?平面A₁EB，A₁B?平面A₁EB，
所以AB₁⊥平面A₁BE．…（8分）
（Ⅲ）解：由題意知過F，D，B，C點的球的直徑是CB₁，
∴球半徑R=

2

，
∴過F，D，B，C點的球的體積V=

4

3

π(

2

)3=

8 2

3

π．…（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．