Question

已知定義在R上的函數(shù)f(x)=

1

3

x3-

3a+1

2

x2+2a(a+1)x，其中a≠1．
（Ⅰ）當a=2時，判斷f（x）的單調性并求f（x）的極值點；
（Ⅱ）若y=f（x）的圖象與x軸恰有三個不同的交點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）對f（x）求導得：f′（x）=x²-（3a+1）x+2a（a+1），
代入a=2有f′（x）=（x-3）（x-4）；
令f′（x）＞0得x∈（-∞，3）∪（4，+∞）；又令f′（x）＜0，得到：x∈（3，4），
于是：f（x）在（-∞，3），（4，+∞）上單調遞增；f（x）在（3，4）上單調遞減．
當x=3時，f（x）有極大值，當x=4時，f（x）有極小值，所以x=3是極大值點，x=4是極小值點．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f′（x）=（x-2a）[x-（a+1）]，
（1）當a＜1時，有：2a＜a+1；令f′（x）＞0得：x∈（-∞，2a）∪（a+1，+∞）；
再令f′（x）＜0得：x∈（2a，a+1），故f（x）在（-∞，2a），（a+1，+∞）上單調遞增，
在（2a，a+1）上單調遞減；此時可知：f（2a）為f（x）的極大值，f（a+1）為f（x）的極小值；
欲使y=f（x）的圖象與x軸恰有三個交點，則必有：

f(2a)＞0 f(a+1)＜0

，
即是：

2a3 3 +2a2＞0 (a+1)2(5a-1) 6 ＜0

，解得：a∈（-3，-1）∪（-1，0）∪（0，

1

5

）．
（2）當a＞1時，有：2a＞a+1；令f′（x）＞0得：x∈（-∞，a+1）∪（2a，+∞）；
再令f′（x）＜0得：x∈（a+1，2a），故f（x）在（-∞，a+1），（2a，+∞）上單調遞增，
在（a+1，2a）上單調遞減；此時可知：f（a+1）為f（x）的極大值，f（2a）為f（x）的極小值；
欲使y=f（x）的圖象與x軸恰有三個交點，則必有：

f(2a)＜0 f(a+1)＞0

，
即是：

2a3 3 +2a2＜0 (a+1)2(5a-1) 6 ＞0

?a∈∅，
   綜上可知：a∈（-3，-1）∪（-1，0）∪（0，

1

5

）．