Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-a）e^x（e為自然對數(shù)的底數(shù)），g（x）=f（x）-b，其中曲線f（x）在（0，f（0））處的切線斜率為-3．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)方程g（x）=0有且僅有一個實根，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f′（x）=（x²+2x-a）e^x
∴f′（0）=-ae⁰=-a由題意知f′（0）=-3
解得a=3
于是f′（x）=（x+3）（x-1）e^x 　　　　
當(dāng)x＜-3或x＞1時，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
當(dāng)-3＜x＜1時f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-3），（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（-3，1）．
（2）由（1）知，當(dāng)x=-3時，f（x）有極大值，為；
當(dāng)x=時，f（x）有極小值，為f（1）=（1-3）e=-2e．
又e^x＞0當(dāng) 時，f（x）＞0
因為方程g（x）=0有且僅有一個實根，所以．
所以實數(shù)b的取值范圍是．
分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)在x=0處的值為-3，列出方程求出a的值，令導(dǎo)函數(shù)大于0求出還是的單調(diào)遞增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0，求出還是的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）利用（1）得到的還是的單調(diào)性求出f（x）的極大值、極小值，令b大于極大值或等于極小值得到b的范圍．
點(diǎn)評：函數(shù)在極值點(diǎn)處的函數(shù)值為0；函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值為曲線的曲線斜率；解決方程根的問題，常分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的極值問題解決．